سطح انرژی و شعاع لایه ها در سیستم های تك الكترونی بنابر مدل اتمی بور

اتمها و یونهای تک اتمی را می توان به دو دسته سیستم های تك الكترونی و سیستم های چند الكترونی طبقه بندی نمود. سیستم های تك الكترونی یا سیستم های هیدروژن مانند به سیستم هایی گفته می شود كه مثل اتم هیدروژن فقط یك الكترون دارند و تنها برهم كنش، جاذبه ی هسته با هر تعداد پروتون با آن تك الكترون است. از سیستم های تک الکترونی می توان به  اشاره کرد. بعبارتی علاوه بر اتم هیدروژن، هر اتم دیگری که تمام الکترونهایش بجز یکی را از دست داده باشد یک سیستم تك الكترونی است. در مقابل سیستم های تك الكترونی سیستم های چند الكترونی یا سیستم های غیر هیدروژن مانند را داریم كه حاوی بیش از یك الكترون هستند و علاوه بر جاذبه هسته با هریك از الكترون ها برهم كنش های دافعه نیز دو به دو بین الكترون ها وجود دارد. از سیستم های چند الکترونی می توان به  اشاره کرد. شکل بعدی را بعنوان نمایش و مقایسه ای از سیستم های تک الکترونی در حالت کلی و اتم هلیم بعنوان یکی از ساده ترین سیستم های چند الكترونی در نظر بگیرید.

بور توانست انرژی و شعاع لایه ها را در سیستم های تك الكترونی بر حسب عدد اتمی و شماره ی لایه محاسبه كند. سیستم های چند الكترونی بسیار پیچیده تر از سیستم های تك الكترونی هستند و انرژی لایه ها در آنها به راحتی قابل محاسبه نیست. بور برای بدست آوردن سطح انرژی و شعاع لایه ها در سیستم های تك الكترونی از دو رابطه زیر استفاده کرد:

در روابط بالا  و  بیانگر به ترتیب جرم و قدر مطلق بار الکترون،  و  بیانگر به ترتیب سرعت و شعاع مدار الکترون در مدار n ام  هستند.  بیانگر بار هسته است که برای هسته اتم با عدد اتمی Z ، برابر  خواهد بود. رابطه اول بیانگر تساوی نیروی گریز از مرکز و نیروی الکتریکی وارده بر الکترون است که این تساوی برای عدم خروج الکترون از مدارش بایستی برقرار باشد. رابطه دوم حاصلضرب جرم، سرعت و شعاع مدار الکترون را کوانتیده در نظر می گیرد و به این حاصلضرب اجازه می دهد فقط مقادیری که مضربی از  هستند، را اختیار کند. در نظر گرفتن همین رابطه دوم سطح انرژی و شعاع لایه ها را در مدل اتمی بور بصورت کوانتیده نتیجه می دهد. رابطه دوم که یک قانون برای کوانتیده بودن است، قانون کوانتومی (Quantum Rule) مدل بور است. از رابطه اول  را بر حسب  بدست آوریم و در رابطه دوم جایگذاری می کنیم. خواهیم داشت:

در رابطه بالا  ،  ،  ،  و  ثابت هستند و مقادیر آنها معلوم است. با جایگذاری مقادیر آنها خواهیم داشت:

در رابطه بالا  بیانگر واحد آنگستروم (angstrom) برای طول است که برابر 10^-10m است.

با جایگذاری  در یکی از دو رابطه اولیه به رابطه زیر برای سرعت الکترون در مدار n ام می رسیم:

انرژی کل الکترون در مدار n ام یا همان سطح انرژی الکترون در مدار n ام که با  نشان داده می شود،بصورت زیر از مجموع انرژی پتانسیل الکتریکی و انرژی جنبشی بدست می آید:

با استفاده از رابطه تساوی نیروی گریز از مرکز و نیروی الکتریکی، رابطه بالا بصورت زیر ساده می شود:

با جایگذاری رابطه بدست آمده برای  در رابطه بالا خواهیم داشت:

با جایگذاری مقادیر ثابت خواهیم داشت:

در رابطه بالا  بیانگر واحد الکترون ولت برای انرژی است که برابر 1.6×10^-19J است.

بنابراین روابط بدست آمده توسط بور برای سطح انرژی و شعاع لایه ها در سیستم های تك الكترونی بر حسب عدد اتمی و شماره ی لایه بصورت در ادامه آمده بودند:

به  که شعاع بدست آمده توسط بور برای مدار اول (n=1) سیستم تک الکترونی با Z=1 یا در واقع شعاع مدار اول اتم هیدروژن است، شعاع بور (Bohr Radius) گفته می شود و با a₀ نمایش داده می شود. پس رابطه  بصورت زیر نیز می تواند نوشته شود:

در ضمن برای لایه  ،  ( فاصله بینهایت از هسته) و  ( سطح انرژی صفر) بدست می آید. از این رو لایه n=∞ معادل الکترون فاقد انرژی جنبشی و پتانسیل کنده شده از اتم است و انتقال الکترون به لایه n=∞ معادل کندن الکترون از اتم است. با توجه به مثبت بودن جمله  مقادیر  مابقی لایه ها منفی خواهد بود. این مطلب در کنار صفر بودن سطح انرژی الکترون کنده شده از اتم بیانگر اینست که قدر مطلق  برای هر لایه نشان میدهد که سطح انرژی الکترون در آن لایه چقدر با سطح انرژی الکترون کنده شده از اتم متفاوت است و دقیقتر بگوئیم نشان میدهد چقدر از آن پایین تر و پایدارتر است.

با توجه به روابط بدست آمده در سیستم های تك الكترونی انرژی لایه ها متناسب با  است و رابطه معكوس با  دارد . از طرف دیگر شعاع لایه ها متناسب با  است و رابطه معكوس با Z دارد .

مثال: سطح انرژی و شعاع لایه ها در اتم هیدروژن را با توجه به فرمولهای مدل اتمی بور بدست آورید و در مورد روند تغییرات آنها بحث کنید.

حل:

H  اتم  : Z = 1, 

همانطور که مشاهده می شود با افزایش n یا دور شدن از هسته شاهد افزایش سطح انرژی لایه ها هستیم. همچنین با افزایش n اختلاف سطح انرژی لایه ها كاهش می یابد.

H  اتم :      Z= 1, 

همانطور که مشاهده می شود با افزایش n شاهد افزایش فاصله الکترون از هسته هستیم. مقادیر شماره لایه ها، اختلاف شعاع لایه ها و درصد اختلاف شعاع لایه ها برای لایه های متوالی با شماره لایه کمتر از شش به ترتیب در زیر آمده است:

شماره لایه ها	اختلاف شعاع لایه ها (rn+1-rn)	درصد اختلاف شعاع لایه ها (/rn(rn+1-rn)100)
1 و 2		300%
2 و 3		125%
3 و 4		125%
4 و 5		56.25%

همانطور که مشاهده می شود با افزایش n ، شعاع لایه ها و اختلاف شعاع لایه ها افزایش می یابد اما درصد افزایش شعاع از یك لایه به لایه بعدی كاهش می یابد.

*****

همانطور که مثال قبل نیز نشان می دهد، در سیستم های تک الکترونی با افزایش n یا دور شدن از هسته شاهد افزایش سطح انرژی لایه ها هستیم و همچنین با افزایش n اختلاف سطح انرژی لایه ها كاهش می یابد. در شکل بعدی که سطح انرژی لایه ها یکبار بصورت پاره خط و یکبار هم بصورت پلکانی نشان داده شده است، این نکات مشهود است.

مثال : شعاع و سطح انرژی تراز اول را برای  و  بدست آورید. آنها را باهم مقایسه كنید و تعیین كنید چه مقدار انرژی برای كندن آخرین الكترون اتم لیتیم مورد نیاز است ؟

حل:

با توجه به اینکه  و جز سیستمهای تک الکترونی هستند، می توانیم از فرمولهای بور برای شعاع و سطح انرژی ترازها به صورت زیر استفاده کنیم:

بعلت تعدا پروتون های بیشتر هسته لیتیم در مقایسه با هسته هلیم، جاذبه الكترون در  با هسته بیشتر است و به هسته نزدیك تر می شود. به علت بار هسته بیشتر  و نزدیك تر بودن الكترون به هسته سطح انرژی الكترون در تراز اول  کمتر یا پایدارتر از سطح انرژی الكترون در تراز اول  است.

مقدار انرژی مورد نیاز برای کندن الکترون  در حالت پایه برابر انرژی مورد نیاز برای فرستادن الکترون از لایه اول به لایه با شماره بینهایت است که آنهم برابر اختلاف سطح انرژی این دو لایه است. بنابراین انرژی مورد نیز برای کندن الکترون هر  در حالت پایه برابراست با:

*****

مثال : الكترون اتم هیدروژن در حالت پایه را در نظر بگیرید.

الف ) سطح انرژی الكترون در لایه سوم را برحسب ev بدست آورید.

ب ) اگر بخواهیم الكترون در حالت پایه را به تراز انرژی n=2 ببریم چقدر انرژی برحسب ev بایستی صرف كنیم؟

ج ) اگر بخواهیم الكترون در حالت پایه ی اتم هیدروژن را بكنیم، چقدر انرژی برحسب ev باید صرف شود؟

د ) انرژی قسمت ج را برحسب  بدست آورید.

ه ) فركانس و طول موج فوتون های مورد نیاز برای انتقالات الكترونی یاد شده در قسمت های ب و ج را بدست آورید.

حل:

الف)

ب)

انرژی صرف شده  =

ج)

د)

همچنین می توانیم از روش ضریب تبدیل زیر استفاده کنیم:

ه)

برای بدست آوردن فركانس و طول موج فوتون های مورد نیاز برای انتقالات الكترونی یاد شده در قسمت های ب و ج اختلاف سطح انرژی دو تراز را برابر انرژی فوتون () قرار می دهیم.

برای قسمت ب داریم:

برای قسمت ج داریم:

*****

مثال : الكترون در اتم هیدروژن سطح انرژی برابر 13.6- الکترون ولت دارد و فاصله آن از هسته  است. اگر با صرف انرژی این الكترون به سطح انرژی برابر -1.51 ev برود، فاصله آن از هسته چقدر می شود؟

حل:

بنابراین پاسخ صحیح گزینه (د) است.

*****

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

**************************************************

سایت: www.youngchemist.com

مولف: محمد شاهی

نظرات، پیشنهادات و انتقادات: chemistry.shahi@gmail.com

**************************************************

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||